Exceptional Lie group E8 Credit: American Institute of Mathematics/ McMullen/Stembridge 2007 / 2008

Die Schönheit der Mathematik

Der Mathematiker hat sein Tweedsakko schon vor einer halben Stunde abgelegt, die Hemdärmel sind hochgekrempelt. Mit allen Mitteln möchte er seinen Zuhörern etwas verständlich machen. Er spricht jetzt von Symmetrien, die die Welt bedeuten. Minutiös zeichnet er mit verschiedenfarbigen Kreiden eine Art Weihnachtsstern an die Tafel, beschriftet einige der Teile und wendet sich wieder an das Publikum. Es ist immer noch ganz schön abstrakt, gibt der Mathematiker zu. Im Auditorium des Massachusetts Institute of Technology (MIT), einer der einflussreichsten technischen Universitäten der Welt, wird wissend genickt.

Schön ist das Ergebnis trotzdem. Es ist eine so genannte exzeptionelle Lie-Gruppe E8, an deren kompletter Darstellung aus 200 Milliarden Zahlen achtzehn Wissenschaftler und ein Supercomputer vier Jahre und 77 Tage lang gerechnet haben. Das Resultat ist die Beschreibung der Symmetrien eines Objektes, das 57 Dimensionen hat und im Grunde auf 248 Arten gedreht werden kann, ohne seine Erscheinung zu verändern. Haben wir das geschluckt, sollten wir an eine Kugel denken und vielleicht ein wenig verstehen, was uns die Superhirne sagen wollen.

Auch die Kugel kann man in jede Richtung um jede Achse drehen, ohne dass sie ihre Beschaffenheit im geringsten verändert. Unterstellt wird dieser Erscheinung, dass sie möglicherweise die tiefe innere Struktur des Universums bestimmt. In der MIT-Sitzung ist noch die Rede von der Quantenmechanik und der Relativitätstheorie, die in einer großen Gleichung durch die neuen Erkenntnisse aufgehen könnten. So nah und nicht weiter.

Das Bild, das uns die Mathematiker hierzu geben, ist faszinierend genug, lässt uns mit ein wenig mehr Abstand die großen Zusammenhänge zwischen den vielfarbigen Linien erahnen. Die komplexe Zahlen-Stickerei verdichtet sich nahe ihrem Zentrum und zieht den Blick ins Leere. Die Darstellung der exzeptionellen Lie-Gruppe E8 ist das Mandala der modernen Mathematik. Sie repräsentiert einen Kosmos, ist eine Kunstfigur, die von ihren Eleven auf Eigenschaften und Muster hin untersucht  wird,  um  zu  höherer  Erkenntnis  zu gelangen.

Der Mathematiker und Meteorologe Edward N. Lorentz, emeritierter Professor des MIT, redet gern vom Wetter. Er prägte den Satz vom Flügelschlag eines Schmetterlings im Amazonas-Urwald, der einen Orkan in Europa auslösen kann. Lorentz versuchte mit seinen Überlegungen und Berechnungen eine Langzeitprognose des Wetters zu geben. Er entwickelte damit eine der Grundlagen der Chaostheorie: Kleinste Ursachen können große und höchst unterschiedliche, chaotische Auswirkungen auf komplexe Systeme haben. Der „Schmetterlingseffekt“ zeigt sich im Lorentzattraktor, einem der einfachsten Systeme mit chaotischem Verhalten. Erstaunlich ist, das die grafische Darstellung der grundlegenden Gleichungen tatsächlich einen Schmetterling bildet: Hier wird Mathematik anschaulich und bringt uns Laien die komplexen Naturgesetze auf wunderbare Weise näher.

Es geht auch einfacher. Der Spirograph ist ein kreatives Spielzeug für Kinder ab sechs. Mit Schablonen und Stiften lassen sich blumige Muster mit einer faszinierenden Tiefe erzeugen. So tangiert die Mathematik schon die Allerjüngsten. Im Prinzip bewegt sich ein Kreis auf einer Kreisbahn und erzeugt Kurven, die Hypozykloiden. Hierzu eine etwas überdimensionierte Denkhilfe, nicht unähnlich den oft absurden Mathe-Aufgaben der Schule: Am Hinterrad mit eines riesigen Fahrrads ist ein Reflektor befestigt. Das Fahrrad bewegt sich nachts auf dem Äquator entlang. Die rotierende Leuchtspur, die der Reflektor hinterlässt, beschreibt eine hypozykloide Kurve. Zurück in den Dimensionen des normalen Bildfeldes entsteht so ein vielschichtiges, dynamisches Bild, wenn man die Radien und Farben geschickt variiert.

Von wesentlich tieferer Bedeutung sind die Ergebnisse von Benoit Mandelbrot und seinen mathematischen Mitstreitern. Sie fanden eine Form, die ihrer Schönheit nach nicht mehr der Sphäre des Denkens allein entstammen kann. Mandelbrot gehört heute zur intellektuellen Elite der Yale Universität, von ihm stammt der Ausspruch: "Da die Mathematik eine Sprache ist, kann sie nicht nur benutzt werden, um zu informieren, sondern auch um zu verführen."

Willkommen in der  Welt der fraktalen Geometrie. Mandelbrot gelang es 1980, die mathematischen Grundlagen vieler Naturphänomene in eine graphische Form zu bringen. Uns auch als "Apfelmännchen" bekannt, gilt das Diagramm der Mandelbrot-Menge als formenreichstes geometrisches Gebilde überhaupt. In der Mandelbrot-Menge findet sich das Große im Kleinen, das Kleine im Großen, sie bildet sich aus Formen von hoher Selbstähnlichkeit. In den Randstrukturen findet man verkleinerte Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt enthält wiederum unendlich viele dieser Satelliten. Einige Entsprechungen in der Natur: Ein Blatt enthält in seinen Verzweigungen die Struktur seines Astes, der wiederum eine verkleinerte Version des Baumes ist, an dem dieser wächst. Auch das zackige, nicht lineare Niederfahren eines Blitzes oder die Struktur einer zerklüfteten Küstenlinie lässt sich anhand der fraktalen Geometrie besser verstehen, ebenso die Erkenntnis, dass jede unserer Hautzellen den gesamten genetischen Bauplan des Körpers enthält.

Hier scheint die Entstehung allen Lebens durch, die Mathematik verführt zum Fühlen und Weiterdenken. "Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen" sagte Galileo Galilei, einer der Urahnen der Mathe-Genies vom MIT, die  hemdsärmlig versuchen, uns ihre Welt zu erklären. Galileo wäre berauscht gewesen angesichts der Schönheit der Mathematik, wie sie sich uns heute zeigt.

Horst Klöver